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एक व्यक्ति $X$ के $7$ मित्र हैं, जिनमें $4$ महिलाएँ हैं तथा $3$ पुरूष हैं, उसकी पत्नी $Y$ के भी $7$ मित्र हैं, जिनमें $3$ महिलाएँ तथा $4$ पुरुष हैं। यह माना गया कि $X$ तथा $Y$ का कोई उभयनिष्ठ (common) मित्र नहीं है। तो उन तरीकों की संख्या जिनमें $X$ तथा $Y$ एक साथ $3$ महिलाओं तथा $3$ पुरूषों को पार्टी पर बुलाएं कि $X$ तथा $Y$ प्रत्येक कें तीन-तीन मित्र आयें, है:
$484$
$485$
$468$
$469$
Solution
$X \to 4$ ladied $Y \to 3$
$X \to 3$ men $Y \to 4$
Possible cases for $X$ are
$(1)$ $3$ ladies, $0$ man
$(2)$ $2$ ladies, $1$ man
$(3)$ $1$ lady, $2$ men
$(4)$ $0$ ladies, $3$ men
Possible cases for $Y$ are
$(1)$ $0$ ladies, $3$ men
$(2)$ $1$ ladies, $2$ men
$(3)$ $2$ lady, $1$ man
$(4)$ $3$ ladies, $0$ man
No. of ways ${ = ^4}{C_3}{ \cdot ^4}{C_3} + {{(^4}{C_2}{ \cdot ^3}{C_1})^2} + {{(^4}{C_1}{ \cdot ^3}{C_2})^2} + {{(^3}{C_3})^2}$
$ = 16 + 324 + 144 + 1 = 485$
